Каталог статей

Число π ≈ 3,1415926535...

$\pi~$ (произносится «пи») — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра.^[2] Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Старое название — лудольфово число.

Геометрический период

То, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнегреческим геометрам. Самое раннее из известных приближений датируется 1900 годом до н. э.; это ²⁵/₈ (Вавилон) и ²⁵⁶/₈₁ (Египет), оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1 %. Ведический текст «Шатапатха-брахмана» даёт $\pi$ как ³³⁹/₁₀₈ ≈ 3,139.

Алгоритм Лю Хуэя для вычисления $\pi$

Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления $\pi$ . Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку $3+\frac{10}{71} < \pi <3+\frac{1}{7}$ и предположил, что $\pi$ примерно равняется 22/7 ≈ 3,142857142857143.

Чжан Хэн во II веке уточнил значение числа $\pi$ , предложив два его эквивалента: 1) 92/29 ≈ 3,1724…; 2) $\sqrt{10}$ ≈ 3,1622.

В Индии Ариабхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416. Варахамихира в 6 веке пользуется в «Панча-сиддхантике» приближением $\sqrt{10}$ .

Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм (англ. Liu Hui's π algorithm) для вычисления $\pi$ с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для $\pi$ по следующему принципу:

$\pi\approx A_{3072} = {3 \cdot 2^8\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}}}}}}} \approx 3,14159.$

Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления $\pi$ и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4.

В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи продемонстрировал, что $\pi$ ≈ ³⁵⁵/₁₁₃, и показал, что 3,1415926 < $\pi$ < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа $\pi$ в течение последующих 900 лет.

Источник: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8